Question

（2011•廣東三模）（Ⅰ）設數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=a_n²+5，n=1，2，3，…，證明對所有的n≥1，有
（i）a_n+1＞4a_n+1；
（ii）

1

1+3a1

+

1

1+3a2

+…+

1

1+3an

＜

1

3

．
（Ⅱ）設數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1＞a_n²+5，n=1，2，3，…．
證明對所有的n＞2011，有

an+2011

＞a2n-2011．

Answer 1

分析：（i）    將a_n+1=a_n²+5轉化成 a_n+1=a_n²+4+1，利用基本不等式，a_n+1=≥2a_n×2+1，整理即可．

解答：證明：（i）由數學歸納法知，a_n＞0，
∴a_n+1=a_n²+5=a_n²+4+1≥2a_n×2+1=4a_n+1．
 （ii） 對k≥2，有a_k=a_k-1²+5=a_k-1²+4+1＞4a_k-1+1＞4（4a_k-2+1）+1＞…＞4^k-1a₁+4^k-2+…+4+1
=

4k- 1

3

∴

1

1+3ak

＜

1

4k

．                                                   
對所有的n≥1，有

1

1+3an

≤

1

4n

∴

1

1+3a1

+

1

1+3a2

+…+

1

1+3an

＜

1

4

+

1

42

 +…+

1

4n

=

1

3

(1-

1

4n

)＜

1

3

（Ⅱ）欲證

an+2011

＞a2n-2011(n＞2011)，只需證a_n+2011＞a_n²（n＞2011），
∵a_n+1＞a_n²+5，n=1，2，3，…．
∴a_n+2011＞a_n+2010²+5
∴a_n+2010＞a_n+2009²+5
∴a_n+2009＞a_n+2008²+5
…
a_n+1＞a_n²+5
∴∴a_n+2011+a_n+2010+…+a_n+1＞a_n+2010²+a_n+2009²+…+a_n+1²+a_n²+5×2011
∴a_n+2011＞（ an+20102-an+2010+

1

4

  ）+（an+20092-an+2009+

1

4

 ）+9an+12-an+1+

1

4

 ）-

1

4

×2010+an2+5×2011         
=

2010

i=1

(an+i-

1

2

)2+（5×2011-

1

4

×2010）+a_n²＞a_n²
 故

an+2011

＞a2n-2011(n＞2011)

點評：本題考查了不等式的證明，主要用到了放縮法、分析法．還需具有轉化，代換、計算的能力．