Question

命題p：關于x的不等式x²+（a-1）x+a²≤0的解集為∅；命題q：函數y=（2a²-a）^x為增函數． 分別求出符合下列條件的實數a的取值范圍．
（1）p、q至少有一個是真命題；
（2）p或q是真命題且p且q是假命題．

Answer 1

考點：復合命題的真假,命題的真假判斷與應用

專題：簡易邏輯

分析：（1）首先，當p命題為真命題時，滿足△=（a-1）²-4a²＜0，解得a＜-1或a＞

1

3

；當q命題為真命題時，滿足2a²-a＞1，解得a＜-

1

2

或a＞1，p，q至少一個為真命題，即這兩個范圍的并集，從而得到結果；
（2）結合p或q是真命題且p且q是假命題，得到p，q為一個真命題，一個為假命題，然后，討論完成即可．

解答： 解：當p命題為真命題時，得
△=（a-1）²-4a²＜0，
∴a＜-1或a＞

1

3

，
當q命題為真命題時，得
2a²-a＞1，
∴a＜-

1

2

或a＞1，
（1）p，q至少一個為真命題，即上面兩個范圍的并集，為
a＜-

1

2

或a＞

1

3

，
∴p、q至少有一個是真命題，實數a的取值范圍（-∞-

1

2

）∪（

1

3

，+∞），
（2）∵p或q是真命題且p且q是假命題，
∴p，q為一個真命題，一個為假命題，
若p為真命題，q為假命題時，
得

1

3

＜a≤1，
若q為真命題，p為假命題時，
得-1≤a＜-

1

2

，
∴p或q是真命題且p且q是假命題，實數a的取值范圍[-1，-

1

2

）∪（

1

3

，1]．

點評：本題重點考查了命題的真假判斷、復合命題的真值表等知識，屬于中檔題．