Question

對于函數f（x），若存在區間M=[a，b]（其中a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，則稱區間M為函數f（x）的一個“穩定區間”．給出下列4個函數：
①f（x）=x²-3x+4；
②f（x）=|2^x-1|；
③f（x）=cos

π

2

x；
④f（x）=e^x．
其中存在“穩定區間”的函數有

 

 （填出所有滿足條件的函數序號）．

Answer 1

考點：函數的值

專題：函數的性質及應用

分析：利用“穩定區間”的函數的性質，分別對四個選項依次進行討論，由此能求出結果．

解答： 解：對于①，f（x）=x²-3x+4是以x=

3

2

為對稱軸、開口向上的拋物線，
存在區間M=[a，b]（其中a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，
∴①不存在“穩定區間”．
對于②，f（x）=|2^x-1|，
當區間M=[-1，1]時，
最小值為f（-1）=-1且最大值為f（1）=1，
因此函數的值域為[-1，1]=M，符合題意，
∴②存在“穩定區間”；
對于③，f（x）=|2^x-1|，在區間[0，1]上的值域也是[0，1]，
∴②存在“穩定區間”；
對于③，f（x）=cos

π

2

x，
∵函數在（0，1）上是減函數，且f（0）=cos0=1，f（1）=cos

π

2

=0
∴當區間M=[0，1]時，可得函數的值域為=M，
∴③存在“穩定區間”；
對于④，因為f（x）=e^x是R上的增函數，
且e^x＞x恒成立，故不存在區間M=[a，b]使得當x∈M時值域恰好是M
∴④不存在“穩定區間”．
故答案為：②③．

點評：本題考查存在“穩定區間”的函數的判斷，是基礎題，解題時要注意函數性質的合理運用．