Question

已知定點A、B間的距離為2，以B為圓心作半徑為2

2

的圓，P為圓上一點，線段AP的垂直平分線l與直線PB交于點M，當P在圓周上運動時，點M的軌跡記為曲線C．
（1）建立適當的坐標系，求曲線C的方程，并說明它是什么樣的曲線；
（2）試判斷l與曲線C的位置關系，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）以AB中點為坐標原點，直線AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系，則A（-1，0），B（1，0）．設M（x，y），由題意：|MP|=|MA|，|BP|=2

2

，所以|MB|+|MA|=2

2

．由此能求出曲線C的方程．
（2）直線l與曲線C的位置關系是相切．
證法一：由曲線C方程為x2+2y2=2，設P（m，n），則P在⊙B上，故（m-1）2+n2=8，即m2+n2=7+2m．由此入手能夠證明直線l與曲線C相切．
證法二：在直線l上任取一點M'，連接M'A，M'B，M'C，由垂直平分線的性質得|M'A|=|M'P|，|M′A|=|M′B|=|M′P|+|M′B|≥|PB|=2

2

，由此能夠證明直線l與曲線C相切．

解答：解：（1）以AB中點為坐標原點，直線AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系，
則A（-1，0），B（1，0）．
設M（x，y），由題意：|MP|=|MA|，|BP|=2

2

，
所以|MB|+|MA|=2

2

．
故曲線C是以A、B為焦點，長軸長為2

2

的橢圓，
其方程為x2+2y2=2．
（2）直線l與曲線C的位置關系是相切．
證法一：由（1）知曲線C方程為x2+2y2=2，
設P（m，n），則P在⊙B上，故（m-1）2+n2=8，
即m2+n2=7+2m．
當P、A、B共線時，
直線l的方程為x=±

2

，顯然結論成立．
當P、A、B不共線時，
直線l的方程為：y-

n

2

=-

m+1

n

(x-

m-1

2

)，
整理得，y=-

m+1

n

x+

3+m

n

．
把直線l的方程代入曲線C方程得：x2+2(-

m+1

n

x+

3+m

n

)2=2，
整理得[n²+2（m+1）²]x²-4（m+1）（m+3）x+2（m+3）²-2n²=0．
△=[4（m+1）（m+3）]²-4[n²+2（m+1）²][2（m+3）²-2n²]
=-8n²[（m+3）²-n²-2（m+1）²]=-8n²[-m²-n²+2m+7]=0．
∴直線l與曲線C相切．（說明：以A或B為原點建系亦可）
證法二：在直線l上任取一點M'，
連接M'A，M'B，M'C，
由垂直平分線的性質得|M'A|=|M'P|，
∴|M′A|=|M′B|=|M′P|+|M′B|≥|PB|=2

2

（當且僅當M、M'重合時取“=”號）
∴直線l與橢圓C有且僅有一個公共點M．
∴直線l與曲線C相切．

點評：通過幾何量的轉化考查用待定系數法求曲線方程的能力，通過直線與圓錐曲線的位置關系處理，考查學生的運算能力．通過向量與幾何問題的綜合，考查學生分析轉化問題的能力，探究研究問題的能力，并體現了合理消元，設而不解的代數變形的思想．本題綜合性強，是高考的重點，易錯點是知識體系不牢固．