Question

 (本小題滿分15分)

已知定點A、B間的距離為2，以B為圓心作半徑為2的圓，P為圓上一點，線段AP的垂直平分線l與直線PB交于點M，當P在圓周上運動時，點M的軌跡記為曲線C．

(1)建立適當的坐標系，求曲線C的方程，并說明它是什么樣的曲線；

(2)試判斷l與曲線C的位置關系，并加以證明．

                    

Answer 1

解 (1)以AB中點為坐標原點，直線AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系，則A(－1,0)，B(1,0).                                    

設M(x, y),由題意：|MP|=|MA|,  |BP|=2，所以 |MB|+|MA|=2.

故曲線C是以A、B為焦點，長軸長為2的橢圓，其方程為x2+2y2=2.            

(2)直線l與曲線C的位置關系是相切.

證法一：由(1)知曲線C方程為x2+2y2=2，

設P(m, n)，則P在⊙B上，故(m－1)2+n2=8，  即m2+n2=7+2m.                   

當P、A、B共線時，直線l的方程為x=±，顯然結論成立. 

當P、A、B不共線時，直線l的方程為：,整理得，                           

把直線l的方程代入曲線C方程得：，

整理得  

 ∴直線l與曲線C相切.(說明：以A或B為原點建系亦可)

證法二：在直線l上任取一點，連結，由垂直平分線的性質得，                   

∴ (當且僅當M、重合時取“=”號)

∴直線l與橢圓C有且僅有一個公共點M.　　　　　　　　　　結論得證