Question

【題目】如圖，在三棱錐P-ABC中，底面ABC，.點D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點，M是線段AD的中點，，.

（1）求證：平面BDE；

（2）求二面角C-EM-N的正弦值.

（3）已知點H在棱PA上，且直線NH與直線BE所成角的余弦值為，求線段AH的長.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）；（3）AH的長為4.

【解析】

（1）利用面面平行的判定定理證明平面平面BDE，再由面面平行的性質定理得出平面BDE；

（2）建立空間直角坐標系，利用向量法求解即可；

（3）建立空間直角坐標系，設出點的坐標，利用向量法求解即可得出線段AH的長.

（1）取AB中點F，連接MF，NF，

因為M為AD中點，

所以，

因為平面BDE，平面BDE，

所以平面BDE.

因為N為BC中點

所以，

又D，E分別為AP，PC的中點，

所以，則.

因為平面BDE，平面BDE，

所以平面BDE.

又，平面

所以平面平面BDE

平面

則平面BDE；

（2）因為底面ABC，.

所以以A為原點，分別以AB，AC，AP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系

因為，，

所以，，，，，，

則，，

設平面MEN的一個法向量為，

由，得，

取，得.

由圖可得平面CME的一個法向量為.

所以.

所以二面角C-EM-N的余弦值為，則正弦值為；

（3）設，則，，.

因為直線MH與直線BE所成角的余弦值為，

所以，

解得：.

所以當H與P重合時直線NH與直線BE所成角的余弦值為，此時線段AH的長為4.