Question

（1）已知關于x的方程|x²-1|=a|x-1|只有一個實數解，則實數a的取值范圍為______
（2）設[x]是不超過x的最大整數，則[log₃1]+[log₃2]+[log₃3]+…[log₃100]=______．

Answer 1

解：（1）|x²-1|=a|x-1|，變形得|x-1|（|x+1|-a）=0，
顯然，x=1已是該方程的根，從而欲使原方程只有一解，
即要求方程|x+1|=a有且僅有一個等于1的解或無解，
若x=1，則a=2，此時方程有兩解，
∴只能方程|x+1|=a無解
∴a＜0．
（2）由題意可知：設[log₃a]=b
log₃a=b+x，a，b為整數
a=3^b+x，0≤x＜1，
因為y=3^x為單調增函數
當a在[1，2]時
因為3⁰=1，3¹=3
則0＜b+x＜1
所以b=0時，[log₃1]+[log₃2]=0
當a在[3，8]時
同理1＜b+x＜2
b=1時，[log₃3]+[log₃4]+…+[log₃8]=1×6
b=2時，[log₃9]+[log₃10]+…+[log₃26]=2×18．
b=3時，[log₃27]+[log₃28]+…+[log₃80]=3×54．
b=4時，[log₃81]+[log₃82]+…+[log₃100]=4×20．
∴[log₃1]+[log₃2]+[log₃3]+[log₃4]+…+[log₃100]=1×6+2×18+3×54+4×20=284；
分析：（1）將方程變形，利用x=1已是該方程的根，從而欲原方程只有一解，即要求方程|x+1|=a有且僅有一個等于1的解或無解，從而可求實數a的取值范圍．
（2）由題意知[log₃1]+[log₃2]=0，先根據對數的運算性質判斷[log₃3]…[log₃100]的大小，最后加起來即可求解．
點評：本題考查方程根的問題，考查學生分析解決問題的能力，第二問是一個新定義，[x]是不超過x的最大整數，此題是一道中檔題；