Question

關于x的不等式|x|-|x-1|≤a在R上恒成立（a是常數），則實數a的取值范圍是

a≥1

．

Answer 1

分析：首先令g（x）=|x|-|x-1|，欲使得g（x）≤a恒成立，則可以求出g（x）的最大值，使得a大于最大值即可．在求函數g（x）的最大值的時候，需要分類討論去絕對值號求解．

解答：解：令函數g（x）=|x|-|x-1|．
當x＞1時，g（x）=x-（x-1）=1．
當x＜0時，g（x）=-x-（1-x）=-1
當0≤x≤1時，g（x）=x-（1-x）=2x-1，-1≤g（x）=2x-1≤1．
故-1≤g（x）≤1．要使關于x的不等式g（x）≤a恒成立．故a≥1．
故答案為a≥1．

點評：此題主要考查恒成立的問題，其中涉及到絕對值不等式的求解，計算量小屬于基礎題型．