Question

9．直線y=kx+1（k∈R）與橢圓$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{m}=1$恒有兩個公共點，則m的取值范圍為（　　）

• A． （1，+∞）
• B． [1，+∞）
• C． （1，5）∪（5，+∞）
• D． [1，5）∪（5，+∞）

Answer 1

分析 直線方程與橢圓方程聯立化為：（m+5k²）x²+10kx+5-5m=0．根據直線與橢圓恒有兩個公共點，可得△＞0，m＞0，m≠5．解出即可得出．

解答 解：聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{m}=1}\end{array}\right.$，化為：（m+5k²）x²+10kx+5-5m=0．
∵直線與橢圓恒有兩個公共點，∴△=100k²-4（m+5k²）（5-5m）＞0，m＞0，m≠5．
化為：m²-（1-5k²）m＞0，m＞0，m≠5．
∴m＞1-5k²，m＞0，m≠5，又k∈R，
∴m＞1，且m≠5．
∴m的取值范圍為（1，5）∪（5，+∞）．
故選：C．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交與判別式的關系、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．