Question

對于數列{λ_n}，若存在常數M＞0，對任意n∈N⁺，恒有|λ_n+1-λ_n|+|λ_n-λ_n-1|+…+|λ₂-λ₁|≤M，則稱數列{λ_n}為∂-數列．
求證：
（1）設S_n是數列{a_n}的前n項和，若{S_n}是∂-數列，則{a_n}也是∂-數列．
（2）若數列{a_n}，{b_n}都是∂-數列，則{a_nb_n}也是∂-數列．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據{S_n}為∂-數列，可得存在M＞0，使|a_n|+|a_n-1|+…+|a₂|≤M，利用|a_n+1-a_n|+|a_n-a_n-1|+…+|a₂-a₁|≤|a_n|+2|a_n-1|+…+2|a₂|+|a₁|≤2M+|a₁|，即可證得結論．
（2）利用數列{a_n}{b_n}都是∂-數列，可得不等式，從而可以證明|a_i|＜|a₁|+M=M₁，|b_i|＜|b₁|+M'=M₁'，進而可證得結論．
解答：證明：（1）∵{S_n}為∂-數列，∴存在M＞0，使|S_n+1-S_n|+|S_n-S_n-1|+…+|S₂-S₁|≤M
∴|a_n|+|a_n-1|+…+|a₂|≤M，
又|a_n+1-a_n|+|a_n-a_n-1|+…+|a₂-a₁|≤|a_n|+2|a_n-1|+…+2|a₂|+|a₁|≤2M+|a₁|．
∴{a_n}也是∂-數列．
（2）∵數列{a_n}{b_n}都是∂-數列，∴存在M，M'使得：|a_n+1-a_n|+|a_n-a_n-1|+…+|a₂-a₁|≤M，對任意n∈N都成立．
考慮|a_i+1b_i+1-a_ib_i|=|a_i+1（b_i+1-b_i）+b_i（a_i+1-a_i）|≤|a_i+1||b_i+1-b_i|+|b_i||a_i+1-a_i||a_i-a₁|
=|（a_i-a_i-1）+（a_i-1-a_i-2）+…+（a₂-a₁）|≤|a_i-a_i-1|+|a_i-1-a_i-2|+…+|a₂-a₁|＜M
∴|a_i|＜|a₁|+M=M₁
同理，|b_i|＜|b₁|+M'=M₁'
∴
∴{a_nb_n}也是∂-數列．
點評：本題考查新定義，考查放縮法的運用，解題的關鍵是正確理解新定義，恰當放縮，屬于中檔題．