Question

對于數列{_n}，若存在常數M＞0，對任意n∈N+，恒有|_n+1﹣_n|+|_n﹣_n﹣1|+…
+|₂﹣₁|≤M，則稱數列{_n}為﹣數列．
求證：（1）設S_n是數列{a_n}的前n項和，若{S_n}是﹣數列，則{a_n}也是﹣數列．
（2）若數列{a_n}，{b_n}都是﹣數列，則{a_nb_n}也是﹣數列．

Answer 1

證明：（1）∵{S_n}為﹣數列，
∴存在M＞0，使|S_n+1﹣S_n|+|S_n﹣S_n﹣1|+…+|S₂﹣S₁|≤M
∴|a_n|+|a_n﹣1|+…+|a₂|≤M，
又|a_n+1﹣a_n|+|a_n﹣a_n﹣1|+…+|a₂﹣a₁|≤|a_n|+2|a_n﹣1|+…+2|a₂|+|a₁|≤2M+|a₁|．
∴{a_n}也是﹣數列．
（2）∵數列{a_n}{b_n}都是﹣數列，
∴存在M，M'使得：|a_n+1﹣a_n|+|a_n﹣a_n﹣1|+…+|a₂﹣a₁|≤M，
對任意n∈N都成立．
考慮|a_i+1b _i+1﹣a_ib_i|=|a_i+1（b_i+1﹣b_i）+b_i（a_i+1﹣a_i）|≤|a_i+1||b_i+1﹣b_i|+|b_i||a_i+1﹣a_i|
|a_i﹣a₁|=|（a_i﹣a_i﹣1）+（a_i﹣1﹣a_i﹣2）+…+（a₂﹣a₁）|≤|a_i﹣a_i﹣1|+|a_i﹣1﹣a_i﹣2|+…+|a₂﹣a₁|
＜M
∴|a_i|＜|a₁|+M=M₁
同理，|b_i|＜|b₁|+M'=M₁'
∴
∴{a_nb_n}也是﹣數列．