Question

【題目】已知為直平行六面體.命題為正方體；命題的任意體對(duì)角線與其不相交的面對(duì)角線垂直.則命題是命題的（ ）條件 .

A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要

Answer 1

【答案】C

【解析】

充分性顯然成立，下面證明必要性成立.

如下左圖，上下底面為平行四邊形，各個(gè)側(cè)面均為矩形.

作體對(duì)角線和在平面上的射影.

因?yàn)槠矫?/span>平面，所以，點(diǎn)、的垂足、必在直線上，和在平面上的射影分別為和.平面上的圖形如下右圖.

由，，知四邊形是平行四邊形，其對(duì)角線的交點(diǎn)為.

又，，由三垂線定理知，.則.

因?yàn)辄c(diǎn)到的距離等于點(diǎn)到的距離等于，且是等腰兩腰上高的交點(diǎn)，所以，也是等腰三角形.

從而，點(diǎn)與重合，且.

故側(cè)面是正方形.

同理，其他側(cè)面四邊形均為正方形.

又點(diǎn)、分別與、重合，由此可得底面四邊形為正方形.

綜上，六面體為正方體.

故答案為：C