【題目】設集合
， 
是集合的所有子集組成的集合.若集合滿足對任意的映射
，總存在
，使得
成立，其中，
表示集合的子集
的補集，
為給定的正整數.試求所有滿足上述條件的集合.
【答案】見解析
【解析】
記
.若存在有限子集
，滿足
.
首先證明：存在映射
，對任意的集合
，均有
.
設集合
的全部子集構成的集合為
,
其中，
，
，
，
.
定義映射
，
，
，則對任意的
，均有
.
定義映射
，對于任意的，設
，
.則
.
定義
其中，
.則對任意的，均有
.
因此，對于映射，若不存在集合，使得
，則
.
其次證明：對任何有限集
，
，均滿足題設條件.
反證法.
假設存在映射，使得對任意的，均有.
任取
，由是有限集，故必存在整數
，使得
，且對任意的
、
，有
.
設
.則
.
同理，
，
，……
.
由此知
.
所以，
，與
不含不為1的奇數因子矛盾.
因此，不存在這樣的映射，使得對任意的，均有，即對任一映射，均存在，有.
從而，必為所有元素個數小于或等于
的實數的集合.
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【題目】經調查，3個成年人中就有一個高血壓，那么什么是高血壓？血壓多少是正常的？經國際衛生組織對大量不同年齡的人群進行血壓調查，得出隨年齡變化，收縮壓的正常值變化情況如下表：
其中： 
， 
， 
（1）請畫出上表數據的散點圖；
（2）請根據上表提供的數據，用最小二乘法求出
關于
的線性回歸方程
；（
的值精確到0.01）
（3）若規定，一個人的收縮壓為標準值的0.9~1.06倍，則為血壓正常人群；收縮壓為標準值的1.06~1.12倍，則為輕度高血壓人群；收縮壓為標準值的1.12~1.20倍，則為中度高血壓人群；收縮壓為標準值的1.20倍及以上，則為高度高血壓人群.一位收縮壓為180mmHg的70歲的老人，屬于哪類人群？
【答案】(1)答案見解析；(2) 
；(3)中度高血壓人群.
【解析】試題分析：（1）將數據對應描點，即得散點圖，（2）先求均值，再代人公式求
，利用
求
，（3）根據回歸直線方程求自變量為180時對應函數值，再求與標準值的倍數，確定所屬人群.
試題解析：(1) 
（2）
∴
∴回歸直線方程為
.
（3）根據回歸直線方程的預測，年齡為70歲的老人標準收縮壓約為
（mmHg）∵
∴收縮壓為180mmHg的70歲老人為中度高血壓人群.
【題型】解答題
【結束】
19
【題目】如圖，四棱柱
的底面為菱形， 
， 
， 
為
中點.
（1）求證： 
平面
；
（2）若
底面
，且直線
與平面
所成線面角的正弦值為
，求
的長.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設等比數列
的公比為
，其前
項和為
，前項之積為
，并且滿足條件：
，
，
，下列結論中正確的是( )
A. 
B. 
C. 
是數列
中的最大值 D. 數列無最小值
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知橢圓
的右焦點為
，點
在橢圓
上，過原點
的直線與橢圓相交于
、
兩點，且
.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設
，
，過點
且斜率不為零的直線與橢圓相交于
、
兩點，證明：
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
為直平行六面體.命題
為正方體；命題
的任意體對角線與其不相交的面對角線垂直.則命題
是命題
的（ ）條件 .
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
的焦點到直線
的距離為
.
(1)求拋物線的標準方程；
(2)設點
是拋物線上的動點，若以點
為圓心的圓在
軸上截得的弦長均為4，求證：圓
恒過定點.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖1，已知菱形
的對角線
交于點
，點
為線段
的中點，
，
，將三角形
沿線段
折起到
的位置，
，如圖2所示．
（Ⅰ）證明：平面
平面
；
（Ⅱ）求三棱錐
的體積．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為
，（θ為參數），以原點為極點，x軸非負半軸為極軸建立極坐標系．
（1）求曲線C的極坐標方程；
（2）在平面直角坐標系xOy中，A（﹣2，0），B（0，﹣2），M是曲線C上任意一點，求△ABM面積的最小值．
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