Question

15．已知{a_n}是首項為1的等差數列，{b_n}是首項為2且各項均為正數的等比數列，且滿足a₂+a₃=b₃，5+b₂=3a₂．
（1）求{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）設c_n=（-1）ⁿa_na_n+1，求數列{c_n}的前2n項和T_2n；
（3）設{b_n}的前n項和為S_n，是否存在正整數n，t，使得$\frac{{S}_{n}-t_{n}}{{S}_{n+1}-t_{n+1}}$＜$\frac{1}{16}$成立？若存在，求出正整數n，t；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設等差數列{a_n}的公差為d，等比數列{b_n}的公比為q＞0．由題意可得：1+d+1+2d=2q²，5+2q=3（1+d），聯立解得d，q，即可得出．
（2）c_n=（-1）ⁿ（2n-1）（2n+1）=（-1）ⁿ（4n²-1），可得c_2n-1+c_2n=4（2n+1）²-1-[4（2n-1）²-1]=32n．即可得出數列{c_n}的前2n項和T_2n．
（3）b_n=2ⁿ，S_n=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$=2ⁿ⁺¹-2，假設存在正整數n，t，使得$\frac{{S}_{n}-t_{n}}{{S}_{n+1}-t_{n+1}}$＜$\frac{1}{16}$成立，則$\frac{{2}^{n+1}-2-t×{2}^{n}}{{2}^{n+2}-2-t×{2}^{n+1}}$$＜\frac{1}{16}$，對t分類討論，t≤2時，化為：$t＞2-\frac{15}{7×{2}^{n}}$；t≥3時，化為：t＜1-$\frac{15}{7×{2}^{n+1}}$，即可得出結論．

解答 解：（1）設等差數列{a_n}的公差為d，等比數列{b_n}的公比為q＞0．
∵a₂+a₃=b₃，5+b₂=3a₂，∴1+d+1+2d=2q²，5+2q=3（1+d），
聯立解得d=q=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，b_n=2ⁿ．
（2）c_n=（-1）ⁿa_na_n+1=（-1）ⁿ（2n-1）（2n+1）=（-1）ⁿ（4n²-1），
∴c_2n-1+c_2n=4（2n+1）²-1-[4（2n-1）²-1]=32n．
∴數列{c_n}的前2n項和T_2n=32×（1+2+…+n）=$\frac{32n（n+1）}{2}$=16n²+16n．
（3）b_n=2ⁿ，S_n=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$=2ⁿ⁺¹-2，
假設存在正整數n，t，使得$\frac{{S}_{n}-t_{n}}{{S}_{n+1}-t_{n+1}}$＜$\frac{1}{16}$成立，則$\frac{{2}^{n+1}-2-t×{2}^{n}}{{2}^{n+2}-2-t×{2}^{n+1}}$$＜\frac{1}{16}$，
t≤2時，化為：$t＞2-\frac{15}{7×{2}^{n}}$，n=1，t=1，因此n=1，t=1時成立．
t≥3時，化為：t＜1-$\frac{15}{7×{2}^{n+1}}$，此時不存在正整數n，t，使得$\frac{{S}_{n}-t_{n}}{{S}_{n+1}-t_{n+1}}$＜$\frac{1}{16}$成立．
綜上可得：只有n=1，t=1時成立．

點評 本題考查了數列遞推關系、等差數列與等比數列的通項公式與求和公式、不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．