Question

若不等式組

x≥0 y≥0 y≤-kx+4k

表示的區域面積為S，則
（1）當S=2時，k=

1

4

；
（2）當k＞1時，

kS

k-1

的最小值為

32

．

Answer 1

分析：（1）根據題意，可得直線l：y=-kx+4k與x、y的正半軸分別交于點A（4，0），B（0，4k），進而得到不等式表示的平面區域是圖中△AOB，結合題意建立關于k的方程并解之，即可得到實數k的值；
（2）結合（1）的計算，可得

kS

k-1

=

8k2

k-1

，其中k＞1．然后利用配湊的方法，結合基本不等式求最值，得當且僅當k=2時，

kS

k-1

的最小值為32．

解答：解：（1）∵直線l：y=-kx+4k=-k（x-4）
∴直線l經過點A（4，0），令x=0，得y=4k，直線l交y軸于點B（0，4k）
因此，不等式組

x≥0 y≥0 y≤-kx+4k

表示的區域是圖中△AOB，
其面積為S=

1

2

×|OA|×|OB|=8k=2，解之得k=

1

4

；
  （2）由（1），得S=8k，可得

kS

k-1

=

k(8k)

k-1

=

8k2

k-1

，其中k＞1

8k2

k-1

=8（k-1）+

8

k-1

+16，
∵8（k-1）+

8

k-1

≥2

8(k-1)× 8 k-1

=16
∴當且僅當8（k-1）=

8

k-1

時，即k=2時，8（k-1）+

8

k-1

的最小值為16，
由此可得

8k2

k-1

≥16+16=32，即k＞1時，

kS

k-1

的最小值為32
故答案為：

1

4

，32

點評：本題給出二元一次不等式組表示的平面區域，求與區域面積有關的一個最小值，著重考查了簡單線性規劃及其應用和二元一次不等式的處理等知識，屬于基礎題．