Question

（本小題12分）已知橢圓C的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，離心率等于，

它的一個頂點B恰好是拋物線的焦點。

（1）求橢圓C的方程；

（2）直線與橢圓C交于兩點，那么橢圓C的右焦點是否可以成為的垂心？若可以，求出直線的方程；若不可以，請說明理由.（注: 垂心是三角形三條高線的交點）

Answer 1

（1）；（2）可以， .

【解析】

試題分析：（1）拋物線x2=4y的焦點為（0，1），可得c=1．再利用，即可得出．

（2）利用三角形垂心的性質(zhì)、相互垂直的直線斜率之間的關系可得直線的斜率為1．設直線的方程為y=x+m，代入橢圓方程并整理，可得3x2+4bx+2（b2﹣1）=0．設，利用根與系數(shù)的關系、向量垂直與數(shù)量積的關系即可得出．

試題解析：（1）設橢圓方程為，

拋物線x2=4y的焦點為（0，1），

由，

∴橢圓方程為．

（2）假設存在直線，使得點F是△BMN的垂心．

易知直線BF的斜率為﹣1，從而直線的斜率為1．

設直線的方程為y=x+m，代入橢圓方程并整理，可得3x2+4bx+2（b2﹣1）=0．

設，

則，．

于是

，

解之得m=1或m=﹣．

當m=1時，點B即為直線與橢圓的交點，不合題意；

當m=﹣時，經(jīng)檢驗符合題意．

∴當且僅當直線的方程為時，點F是△BMN的垂心．

考點：橢圓與拋物線的標準方程及其性質(zhì)；三角形垂心的性質(zhì)；相互垂直的直線斜率之間的關系；直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關系；向量垂直與數(shù)量積的關系；推理能力與計算能力.