Question

已知關于x的一元二次方程x²－2(a－2)x－b²＋16＝0．
(1)若a，b是一枚骰子先后投擲兩次所得到的點數，求方程有兩個正實數根的概率；
(2)若a∈[2,6]，b∈[0,4]，求一元二次方程沒有實數根的概率．

Answer 1

（1）    （2）

(1)基本事件(a，b)共有36個，且a，b∈{1,2,3,4,5,6}，方程有兩個正實數根等價于a－2>0,16－b²>0，Δ≥0，即a>2，－4<b<4，(a－2)²＋b²≥16．
設“一元二次方程有兩個正實數根”為事件A，則事件A所包含的基本事件數為(6,1)，(6,2)，(6,3)，(5,3)共4個，故所求的概率為P(A)＝＝．
(2)試驗的全部結果構成區域Ω＝{(a，b)|2≤a≤6,0≤b≤4}，其面積為S(Ω)＝16．
設“一元二次方程無實數根”為事件B，則構成事件B的區域為B＝{(a，b)|2≤a≤6,0≤b≤4，(a－2)²＋b²<16}，其面積為S(B)＝×π×4²＝4π，
故所求的概率為P(B)＝＝．