Question

（本小題滿分14分）已知函數

（1）求曲線在點處的切線方程；

（2）求函數的極值；

（3）對恒成立，求實數的取值范圍．

 

Answer 1

（1）；（2）函數的極小值為, 無極大值；（3）.

【解析】

試題分析：（1）先求出，再根據導數的幾何意義，求出該點的導數值，即可得出曲線在此點處的切線的斜率，然后用點斜式寫出切線方程即可；（2）令導數大于0解出函數的增區間；令導數小于0，解出函數的減區間，然后由極值判斷規則確定極值即可；（3）由恒成立，得到在上恒成立，于是構造函數，即可將所求問題轉化為.

試題解析：（1）函數的定義域為， ，，，

曲線在點處的切線方程為，

即,

（2）令，得，

列表：

	-	0	+
	↘		↗

 

函數的極小值為, 無極大值。

（3）依題意對恒成立

等價于在上恒成立

可得在上恒成立，

令,

令，得

列表：

	-	0	+
	↘		↗

 

函數的最小值為,

根據題意，.

考點：導數在最大值、最下值問題中的應用；利用導數研究函數的極值；利用導數研究曲線上某點切線方程.