Question

已知直線，圓．
（1）求直線被圓所截得的弦長；
（2）如果過點的直線與直線垂直，與圓心在直線上的圓相切，圓被直線分成兩段圓弧，且弧長之比為，求圓的方程．

Answer 1

（1）；（2）或.

試題分析：（1）由題意可以通過求弦心距進而求得弦長，而弦心距即為圓心到直線的距離：，再由垂徑定理，弦長為；（2）根據題意可求得：，由圓心在直線上，可設，從而根據與圓相切可知圓的半徑，再由圓被直線分成兩段圓弧，且弧長之比為，可知兩段弧的度數分為為，，從而直線截圓的弦的弦心距為半徑的一半，即有關于的方程：
，解得或，從而可得圓的方程為：
或.
試題解析：（1）直線被圓所截得弦弦心距為，∴弦長為；       3分
∵過點且與垂直，∴：，       3分
∵圓心在直線上，∴設，∵與圓相切，∴，
設與圓交于，兩點，∵圓被直線分成兩段圓弧，且弧長之比為，∴，
即可得的弦心距，解得或，
∴圓的方程為：或．        6分