Question

某工廠有14m長的舊墻一面，現在準備利用這面舊墻，建造平面圖形為矩形，面積為126m²的廠房，工程條件為：①建1m新墻的費用為a元；②修1m舊墻的費用為

a

4

元；③拆去1m舊墻，用所得材料建造1m新墻的費用為

a

2

元．經過討論有兩種方案：
（Ⅰ）利用舊墻的一段xm（x＜14）為矩形廠房一面的邊長；
（Ⅱ）矩形廠房利用舊墻的一面邊長為x（x≥14）．
問：如何利用舊墻，即x為多少米時，建墻費用最省？（Ⅰ）（Ⅱ）兩種方案哪個更好？

Answer 1

分析：（Ⅰ）分別求出修舊墻費用、將剩余的舊墻拆得材料建新墻的費用及建新墻的費用，得到總費用后利用基本不等式求費用的最小值；
（Ⅱ）求出修舊墻的費用及建新墻的費用，作和后利用函數的單調性求出費用最小值，比較大小后即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）設利用舊墻的一面矩形邊長為xm，則矩形的另一邊長為

126

x

m．
利用舊墻的一段xm（x＜14）為矩形一面邊長，則修舊墻費用為x•

a

4

元．
將剩余的舊墻拆得材料建新墻的費用為（14-x）•

a

2

元，其余建新墻的費用為(2x+

2×126

x

-14)•a元．
故總費用為：
y=x•

a

4

+

14-x

2

•a+(2x+

252

x

-14)•a=7a(

x

4

+

36

x

-1)，（0＜x＜14）．
∴y≥7a[2

x 4 • 36 x

-1]=35a．
當且僅當

x

4

=

36

x

，即x=12m時，y_min=35a（元）；
（Ⅱ）若利用舊墻的一面矩形邊長為x≥14，則修舊墻的費用為

a

4

•14=

7

2

a元，
建新墻的費用為(2x+

252

x

-14)a元．
故總費用為y=

7

2

a+(2x+

252

x

-14)a=

7

2

a+2a(x+

126

x

-7)，（x≥14）．
設14≤x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0，x₁x₂＞196．
則(x1+

126

x1

)-(x2+

126

x2

)=(x1-x2)(1-

126

x1x2

)＜0．
∴函數y=x+

126

x

在區間[14，+∞）上為增函數．
故當x=14時，ymin=

7

2

a+2a(14+

126

14

-7)=35.5a＞35a．
綜上可知，采用第（Ⅰ）方案，建墻總費用最省，為35a元．

點評：本題考查了根據實際問題選擇函數模型，考查了簡單的數學建模思想方法，訓練了利用基本不等式和函數的單調性求函數的最值，是中檔題．