Question

某工廠有一段舊墻長14m，現準備利用這段舊墻為一面建造平面圖形為矩形，面積為126m²的廠房，工程條件是：①建1m新墻的費用為a元；=2 ②修1m舊墻的費用為

a

4

元；=3 ③拆去1m的舊墻，用可得的建材建1m的新墻的費用為

a

2

元，經討論有兩種方案：
（1）利用舊墻一段x m（0＜x＜14）為矩形一邊；
（2）矩形廠房利用舊墻的一面邊長x≥14；
問如何利用舊墻建墻費用最省？試比較（1）（2）兩種方案哪個更好．

Answer 1

分析：根據題意將實際問題的數學模型建立起來是解決本題的關鍵．利用兩種不同的方案分別給出費用的表達式，通過比較大小確定出哪個方案更好．

解答：解：（1）方案：修舊墻費用為x•

a

4

元，拆舊墻造新墻費用為（14-x）•

a

2

，
其余新墻費用：(2x+

2×126

x

-14)a
∴總費用y=7a(

x

4

+

36

x

-1)（0＜x＜14）
∴y=7a(

x

2

-

6

x

)2+35a≥35a，當x=12時，y_min=35a；
（2）方案，利用舊墻費用為14•

a

4

=

7a

2

（元），建新墻費用為(2x+

252

x

-14)a（元）
總費用為：y=2a(x+

126

x

)-

21

2

a（x≥14）
設f(x)=x+

126

x

(x≥14)，則f′(x)=1-

126

x2

=

x2-126

x2

，
當x≥14時，f'（x）＞0，f（x）為增函數，∴f（x）_min=f（14）=35.5a．
由35a＜35.5a知，采用（1）方案更好些．
答：采用（1）方案更好些．

點評：本題考查函數模型的應用問題，考查建立函數模型解決實際問題的意識，通過建立的模型選擇合適的方法求解相應的最值，通過最值之間的關系比較進行選擇．突出數學的應用價值．