Question

已知函數，（）

（1）對于函數中的任意實數x，在上總存在實數，使得成立，求實數的取值范圍

（2）設函數，當在區間內變化時，

（1）求函數的取值范圍；

（2）若函數有零點，求實數m的最大值.

 

Answer 1

（1）；（2）（1）；（2）

【解析】

試題分析：（1）分析可知原命題，分別求導令導數等于0，討論導數的正負，導數大于0得增區間，導數小于0得減區間，再根據單調性求最值。（2）（1），先求導得，可看成關于的一次函數，因為可得，即用導數討論和的單調性，用單調性求其最值。從而可得得范圍。（2）時函數有零點，說明存在使。由（1）可知在為單調遞減函數，所以函數，同（1）可得時的最大值是，比較和的大小得函數的最大值從可得的最大值。

試題解析：（1）原命題，先求函數的最小值，令，得.當時，；當時，，故當時，取得極（最）小值，其最小值為；而函數的最小值為m,故當時，結論成立

（2）（1）：由，可得，把這個函數看成是關于的一次函數，（1）當時，，因為，故的值在區間上變化，令，，則，在為增函數，故在最小值為，又令，同樣可求得在的最大值，所以函數在的值域為。

（2）（2）當時，的最大值，故對任意，在均為單調遞減函數，所以函數

當時，因為，，故的值在區間上變化，此時，對于函數，存在，在單調遞減，在單調遞增，所以，在的最大值為，因為，，所以，故的最大值是，又因為，故當函數有零點時，實數m的最大值是.

考點：用導數研究函數的單調性。