Question

已知復數z₁=1+3i，z₂=

3

cosα+isinα，求復數z=z₁•z₂實部的最值．

Answer 1

考點：復數代數形式的乘除運算

專題：數系的擴充和復數

分析：把z₁=1+3i，z₂=

3

cosα+isinα代入z=z₁•z₂，化簡后得到z的實部，然后利用三角運算求實部的最值．

解答： 解：∵z₁=1+3i，z₂=

3

cosα+isinα，
∴z=z₁•z₂=（1+3i）（

3

cosα+isinα）
=

3

cosα+isinα+3

3

icosα-3sinα
=（

3

cosα-3sinα）+i（sinα+3

3

cosα），
∴z的實部為t=

3

cosα-3sinα=2

3

sin(

π

6

-α)．
∴當α=2kπ-

π

3

，k∈Z時，tmax=2

3

；
當α=2kπ-

4π

3

，k∈Z時，tmin=-2

3

．

點評：本題考查了復數代數形式的乘除運算，考查了三角函數值域的求法，是基礎題．