Question

【題目】已知函數f（x）=|x+a|+|x﹣3|（a∈R）．
（1）當a=1時，求不等式f（x）≥x+8的解集；
（2）若函數f（x）的最小值為5，求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=1時，求不等式f（x）≥x+8，即|x+1|+|x﹣3|≥x+8，

若x＜﹣1，則有﹣x﹣1+3﹣x≥x+8，求得x≤﹣2．

若﹣1≤x≤3，則有x+1+3﹣x≥x+8，求得x≤﹣4，不滿足要求．

若x＞3，則有x+1+x﹣3≥x+8，求得x≥10．

綜上可得，x的范圍是{x|x≤﹣2或x≥10}．

（2）解：∵f（x）=|x+a|+|x﹣3|=|x+a|+|3﹣x|≥|x+a+3﹣x|=|a+3|，

∴函數f（x）的最小值為|a+3|=5，∴a+3=5，或a+3=﹣5，

解得a=2，或a=﹣8．

【解析】（1）當a=1時，不等式即|x+1|+|x﹣3|≥x+8，分類討論去掉絕對值，分別求得它的解集，再取并集，即得所求．（2）由條件利用絕對值三角不等式求得f（x）的最小值，再根據f（x）的最小值為5，求得a的值．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數的最值及其幾何意義(利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值)，還要掌握絕對值不等式的解法(含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號)的相關知識才是答題的關鍵．