Question

【題目】已知函數．

(Ⅰ)若，求曲線在點處的切線方程；

(Ⅱ)若，判斷函數的零點個數，并說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）詳見解析

【解析】

（Ⅰ）把分別代入原函數及導函數解析式，求得f′（1）及f（1），利用直線方程的點斜式求解；（Ⅱ）求出導函數的零點，列關于x，f′（x），f（x）變化情況表，求得函數最小值f（a）．然后分f（a）＞0，f（a）＝0，f（a）＜0三類分析原函數的零點．

解：函數的定義域為.

f’(x)=,.

（I）若，f’(1)=3，且,

所以曲線在點(1,f(1))處的切線方程為y-2=3(x-1)，即3x-y-1=0.

（Ⅱ）令f’(x)=0，得x=a，（舍）.

x,f(x), f’(x)變化情況如下表：

x	(0,a)	a
f’(x)		0
	↘	極小值	↗

)=a-2alna.

①當，即時，無零點.

②當，即時，只有一個零點.

③當，即時，

因為>0，,且在上單調遞減，

所以在上存在唯一零點；

在上，，.

因為，所以，即.

又，且在上單調遞增，

所以在上存在唯一零點；

所以當時，有兩個零點.

綜上：時，無零點；

時，只有一個零點；

時，有兩個零點.