Question

【題目】已知在上任意一點處的切線為，若過右焦點的直線交橢圓:于、兩點，在點處切線相交于．

（1）求點的軌跡方程；

（2）若過點且與直線垂直的直線（斜率存在且不為零）交橢圓于兩點，證明：為定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析．

【解析】

（1）由題意按照直線斜率是否為0分類，當直線斜率不為0時，設直線方程為，，聯立方程求出點橫坐標，化簡即可得解；

（2）設點、，設直線的方程為，聯立方程結合韋達定理、弦長公式可得，同理可得，即可得解.

（1）由題意點，

當直線斜率為0時，在點處的切線不相交，不合題意；

當直線斜率不為0時，設直線方程為，，

易得在點處切線為，在點處切線為，

由，解得，

又，

所以，

所以點的軌跡方程為；

（2）設點、，設直線的方程為．

則，消去得，，

由韋達定理得，．

所以

；

將換為可得，

所以．