Question

【題目】已知函數，是f(x)的導函數．

（1）證明：當x＞0時，f(x)＞0；

（2）證明：在()上有且只有3個零點．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

（1）利用導數研究函數的單調性，利用單調性可證得不等式成立；

（2）轉化為證明在上有且只有3個零點，因為0是的一個零點，再根據為奇函數，所以只需證明在上有且只有一個零點，分兩種情況證明：①當時，利用導數證明，此時無零點，②當時，利用導數得到函數為單調函數，再根據零點存在性定理得有且只有一個零點.

（1）證明：

令，則，

當時，，所以在上單調遞增，

所以當時，，所以在上單調遞增，

又，

所以當時，.

（2）證明：，

令，得，即

令，則，

是奇函數，且，即0是的一個零點，

令，則，

當時，，所以在上單調遞增，

令，則在上單調遞增，在上單調遞減.

由（1）知：當時，，即，

令，則，

當時，，單調遞增，

當時，，單調遞減，

又，

所以時，恒成立，即時，恒成立，

所以當時，，

所以當時，恒成立，

當時，，

所以在上為增函數，且，，

所以在上有且只有一個零點，設為，所以，

因為是奇函數，，

所以在上的零點為，

所以在上的零點為，，，

所以在上有且只有3個零點.

所以在上有且只有3個零點.