Question

已知函數(shù)f（x）=

x

3x+1

，數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁=1，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．
（1）求證：數(shù)列{

1

an

}是等差數(shù)列；
（2）記S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，求S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差關(guān)系的確定

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由函數(shù)f（x）=

x

3x+1

，數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁=1，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．可得an+1=

an

3an+1

，兩邊取倒數(shù)可得：

1

an+1

=

1

an

+3，即可證明；
（2）由（1）可得an=

1

3n-2

．于是a_n•a_n+1=

1

(3n-2)(3n+1)

=

1

3

(

1

3n-2

-

1

3n+1

)．利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答： （1）證明：∵函數(shù)f（x）=

x

3x+1

，數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁=1，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．
∴an+1=

an

3an+1

，兩邊取倒數(shù)可得：

1

an+1

=

1

an

+3，
∴數(shù)列{

1

an

}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為3；
（2）解：由（1）可得

1

an

=1+3（n-1）=3n-2，
∴an=

1

3n-2

．
∴a_n•a_n+1=

1

(3n-2)(3n+1)

=

1

3

(

1

3n-2

-

1

3n+1

)．
∴S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=

1

3

[(1-

1

4

)+(

1

4

-

1

7

)+…+(

1

3n-2

-

1

3n+1

)]
=

1

3

(1-

1

3n+1

)
=

n

3n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了“裂項(xiàng)求和”、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了變形能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．