Question

18．在△ABC中，若$|{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}|=|{\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}}|$，則△ABC的形狀是（　　）

• A． 等腰三角形
• B． 直角三角形
• C． 等邊三角形
• D． 不確定

Answer 1

分析 根據(jù)等式|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$|，兩邊平方可得$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=0，從而可判定三角形ABC的形狀．

解答 解：∵|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$|，
∴|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$|²=|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$|²，
∴$\overrightarrow{AB}$²+2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AC}$²=$\overrightarrow{AB}$²-2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AC}$²，
∴4$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=0，
即$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=0
∴$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{AC}$，
即△ABC是直角三角形
故選：B

點評 本題主要考查了向量基本運算，以及向量模的求解和數(shù)量積的應(yīng)用，同時考查了計算能力，屬于中檔題．