【題目】已知數列
的前
項和為
，
，且
（
），數列
滿足
，
，對任意，都有
；
（1）求數列、的通項公式；
（2）令
，若對任意的，不等式
恒成立，求實數
的取值范圍；
【答案】（1）
，
；（2）
；
【解析】
(1)利用
，再寫一式，兩式相減，再利用累乘法即可求數列
的通項公式；由題意判斷數列
為等比數列，直接寫出通項公式； (2)利用錯位相減法求數列的和，在將不等式轉化為
恒成立，構造函數，利用函數的性質，即可確定實數
的取值范圍.
(1)因為，所以當
時，
，兩式相減得
，
所以
，即
，
所以
，
滿足上式，故數列的通項公式
.
由題意知是以
為首項，為公比的等比數列，所以.
(2)因為
①，
所以
②，
由①
②得
所以
.
又
，所以不等式
即為
，即恒成立，
構造函數
（
），
當
時，
恒成立，則滿足條件；
當
時，由二次函數性質知不恒成立；
當
時，由于
，則
在上單調遞減，
恒成立，則滿足條件，
綜上所述，實數的取值范圍是
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設
，
，其中m是不等于零的常數.
（1）
時，直接寫出
的值域；
（2）求的單調遞增區間；
（3）已知函數
，
，定義：
，，
，，其中，
表示函數在
上的最小值，
表示函數在上的最大值.例如：
，
，則
，，
，.當時，
恒成立，求n的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某電器專賣店銷售某種型號的空調，記第
天（
，
）的日銷售量為
（單位；臺）．函數圖象中的點分別在兩條直線上，如圖，該兩直線交點的橫坐標為
，已知
時，函數
．
（1）當
時，求函數的解析式；
（2）求
的值及該店前天此型號空調的銷售總量；
（3）按照經驗判斷，當該店此型號空調的銷售總量達到或超過
臺，且日銷售量仍持續增加時，該型號空調開始旺銷，問該店此型號空調銷售到第幾天時，才可被認為開始旺銷？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
（其中
為參數），曲線
的參數方程為
（其中為參數），以原點
為極點，
軸的正半軸為極軸建立極坐標系.
（1）求曲線、的極坐標方程；
（2）射線
：
與曲線，分別交于點
，
（且點，均異于原點），當
時，求
的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的兩個焦點分別為
、
，短軸的兩個端點分別是
、
.
（1）若
為等邊三角形，求橢圓的標準方程；
（2）若橢圓的短軸長為
，過點
的直線
與橢圓相交于
、
兩點，且以
為直徑的圓經過點
，求直線的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，某傳動裝置由兩個陀螺
，
組成，陀螺之間沒有滑動，每個陀螺都由具有公共軸的圓錐和圓柱兩個部分構成，每個圓柱的底面半徑和高都是相應圓錐底面半徑的
，且，的軸相互垂直，它們相接觸的直線與的軸所成角
，若陀螺中圓錐的底面半徑為
（
）；
（1）求陀螺的體積；
（2）當陀螺轉動一圈時，陀螺中圓錐底面圓周上一點
轉動到點
，求與之間的距離；
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖一塊長方形區域
，
，
，在邊
的中點
處有一個可轉動的探照燈，其照射角
始終為
，設
，探照燈照射在長方形內部區域的面積為
.
（1）當
時，求關于
的函數關系式；
（2）當
時，求的最大值；
（3）若探照燈每9分鐘旋轉“一個來回”（
自
轉到
，再回到，稱“一個來回”，忽略在及處所用的時間），且轉動的角速度大小一定，設
邊上有一點
，且
，求點在“一個來回”中被照到的時間.
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