Question

已知a，b是實數，求證：a⁴-b⁴-2b²=1成立的充分條件是a²-b²=1，該條件是否為a⁴-b⁴-2b²=1成立的必要條件？證明你的結論．

Answer 1

考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：簡易邏輯

分析：根據充要條件的定義分別證明充分性和必要性即可得到結論．

解答： 證明：若a²-b²=1，則a⁴-b⁴-2b²=（a²-b²）（a²+b²）-2b²=a²+b²-2b²=a²-b²=1成立．即a⁴-b⁴-2b²=1成立的充分條件是a²-b²=1．
若a⁴-b⁴-2b²=1，則a⁴-b⁴-2b²-1=0，
即a⁴-（b⁴+2b²+1）=0，
∴a⁴-（b²+1）²=0，
∴（a²+b²+1）（a²-b²-1）=0，
∵a²+b²+1≠0，
∴a²-b²-1=0，
即a²-b²=1成立．即a²-b²=1是否為a⁴-b⁴-2b²=1成立的必要條件．
綜上：a⁴-b⁴-2b²=1成立的充要條件是a²-b²=1．

點評：本題主要考查充要條件的應用，根據定義要分別證明充分性和必要性都要成立．