Question

對于函數y=f（x），若存在區間[a，b]，當x∈[a，b]時的值域為[ka，kb]（k＞0），則稱y=f（x）為k倍值函數，若f（x）=lnx+2x是k倍值函數，則實數k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：對數函數的值域與最值

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：由于f（x）在定義域{x|x＞0} 內為單調增函數，利用導數求得g（x）的極大值為：g（e）=2+

1

e

，當x趨于0時，g（x）趨于-∞，當x趨于∞時，g（x）趨于2，因此當2＜k＜2+

1

e

時，直線y=k與曲線y=g（x）的圖象有兩個交點，滿足條件，從而求得k的取值范圍．

解答： 解：∵f（x）=lnx+2x，定義域為{x|x＞0}，
f（x）在定義域為單調增函數，
因此有：f（a）=ka，f（b）=kb，
即：lna+2a=ka，lnb+2b=kb，即a，b為方程lnx+2x=kx的兩個不同根．
∴k=2+

lnx

x

，令 g（x）=2+

lnx

x

，g'（x）=

1-lnx

x2

，
當x＞e時，g'（x）＜0，g（x）遞減，當0＜x＜e時，g'（x）＞0，g（x）遞增，
可得極大值點x=e，故g（x）的極大值為：g（e）=2+

1

e

，
當x趨于0時，g（x）趨于-∞，當x趨于∞時，g（x）趨于2，
因此當2＜k＜2+

1

e

 時，直線y=k與曲線y=g（x）的圖象有兩個交點，
方程 k=2+

lnx

x

有兩個解．
故所求的k的取值范圍為（2，2+

1

e

），
故答案為 （2，2+

1

e

）．

點評：本題主要考查利用導數求函數極值的方法，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．