Question

一個圓錐高h為3，側面展開圖是個半圓，求：
（1）其母線l與底面半徑r之比；
（2）錐角∠BAC；
（3）圓錐的表面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中圓錐側面展開圖是個半圓，即底面周長等于以母線為半徑的半圓弧的長，由此即可得到母線l與底面半徑r之比；
（2）根據（1）的結論，結合直角三角形的性質，我們易解三角形BAO求出BAO的度數，進而得到錐角的大小；
（3）根據（1）的結論和已知中圓錐高h為3，求出圓錐的底面半徑和母線長，代入圓錐的表面積公式，即可得到答案．
解答：解：（1）⊙圓錐的側面展開圖恰為一個半圓
∴2πr=πl
∴其母線l與底面半徑r之比為l：r=2：1
（2）∵l：r=2：1
∴AB=2OB
∴∠BAO=30°
∴∠BAC=60°
即錐角為60°
（3）Rt△AOB中，
∵l²=h²+r²
又l=2r，h=3
∴r=3，l=6
∴S_表面積=S_側面積+S_底面積=3π（6+3）=27π
點評：本題考查的知識點是圓錐的表面積及圓錐的幾何特征，本題的關鍵是要搞清楚圓錐的底面半徑與母線之間的關系．