Question

一個圓錐高h為3

3

，側(cè)面展開圖是個半圓，求：
（1）其母線l與底面半徑r之比；
（2）錐角∠BAC；
（3）圓錐的表面積．

Answer 1

分析：（1）由已知中圓錐側(cè)面展開圖是個半圓，即底面周長等于以母線為半徑的半圓弧的長，由此即可得到母線l與底面半徑r之比；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，結(jié)合直角三角形的性質(zhì)，我們易解三角形BAO求出BAO的度數(shù)，進而得到錐角的大小；
（3）根據(jù)（1）的結(jié)論和已知中圓錐高h為3

3

，求出圓錐的底面半徑和母線長，代入圓錐的表面積公式，即可得到答案．

解答：解：（1）⊙圓錐的側(cè)面展開圖恰為一個半圓
∴2πr=πl(wèi)
∴其母線l與底面半徑r之比為l：r=2：1
（2）∵l：r=2：1
∴AB=2OB
∴∠BAO=30°
∴∠BAC=60°
即錐角為60°
（3）Rt△AOB中，
∵l²=h²+r²
又l=2r，h=3

3

∴r=3，l=6
∴S_表面積=S_{側(cè)面積}+S_底面積=3π（6+3）=27π

點評：本題考查的知識點是圓錐的表面積及圓錐的幾何特征，本題的關(guān)鍵是要搞清楚圓錐的底面半徑與母線之間的關(guān)系．