Question

17．已知tanα=-$\frac{1}{2}$，求$\frac{1+2sin（π-α）cos（-2π-α）}{si{n}^{2}α-si{n}^{2}（\frac{5π}{2}-α）}$+$\frac{1}{3}$的值．

Answer 1

分析 由已知利用誘導公式，同角三角函數基本關系式，平方差公式化簡已知，結合tanα=-$\frac{1}{2}$即可計算得解．

解答 解：原式=$\frac{1+2sinαcosα}{sin2α-cos2α}$+$\frac{1}{3}$
=$\frac{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α+2sinαcosα}{si{n}^{2}α-co{s}^{2}α}$+$\frac{1}{3}$…（3分）
=$\frac{（sinα+cosα）^{2}}{（sinα-cosα）（sinα+cosα）}$+$\frac{1}{3}$
=$\frac{sinα+cosα}{sinα-cosα}$+$\frac{1}{3}$…（5分）
=$\frac{tanα+1}{tanα-1}$+$\frac{1}{3}$，…（7分）
又∵tanα=-$\frac{1}{2}$，
∴原式=0．…（8分）

點評 本題主要考查了誘導公式，同角三角函數基本關系式，平方差公式在三角函數化簡求值中的應用，考查了轉化思想，屬于基礎題．