Question

【題目】在(2x-3y)10的展開式中,求:

(1)各項的二項式系數(shù)的和;

(2)奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和與偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和;

(3)各項系數(shù)之和;

(4)奇數(shù)項系數(shù)的和與偶數(shù)項系數(shù)的和.

Answer 1

【答案】（1）1024；（2）512 ，512 ；（3）1；（4）見解析

【解析】

（1）根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)求解；

（2）可采用賦值法，根據(jù)二項式定理，求得奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和與偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和，也可直接應(yīng)用二項式系數(shù)的這部分性質(zhì)，寫出答案；

(3)采用賦值法，令x=y=1，求得各項系數(shù)之和;

（4）采用賦值法，令x=1,y=-1，結(jié)合（3），可分別求得奇數(shù)項系數(shù)的和與偶數(shù)項系數(shù)的和.

(1)各項的二項式系數(shù)的和為 ;

(2)奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和為

偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和為

(3)設(shè)(2x-3y)10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+…+a10y10 (*),各項系數(shù)之和即為a0+a1+a2+…+a10,

由于(*)是恒等式,故可用“賦值法”求解.

令(*)中x=y=1,得各項系數(shù)之和為(2-3)10=(-1)10=1.

(4)奇數(shù)項系數(shù)的和為a0+a2+a4+…+a10,偶數(shù)項系數(shù)的和為a1+a3+a5+…+a9.

由(3)知a0+a1+a2+…+a10=1. ①

令(*)中x=1,y=-1,得a0-a1+a2-a3+…+a10=510. ②

①+②,得2(a0+a2+…+a10)=1+510,故奇數(shù)項系數(shù)的和為 ;

①-②,得2(a1+a3+…+a9)=1-510,故偶數(shù)項系數(shù)的和為.