【題目】已知正方體ABCD-A1B1C1D1,則直線BC1與平面A1BD所成的角的余弦值是_____.
【答案】
【解析】
如圖,以D為坐標原點,直線DA,DC,DD1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,設正方體棱長為1,再利用向量法求直線BC1與平面A1BD所成的角的余弦值.
如圖,以D為坐標原點,直線DA,DC,DD1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,設正方體棱長為1,則D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),C1(0,1,1),
則
=(1,0,1),
=(1,1,0),
=(-1,0,1),
設平面A1BD的一個法向量為n=(x,y,z),
則
所以
令x=1得,n=(1,-1,-1),
設直線BC1與平面A1BD所成角為θ,
則sinθ=|cos <,n>|=
,故cosθ=
.
故答案為：
優學名師名題系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在(2x-3y)10的展開式中,求:
(1)各項的二項式系數的和;
(2)奇數項的二項式系數的和與偶數項的二項式系數的和;
(3)各項系數之和;
(4)奇數項系數的和與偶數項系數的和.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了研究一種新藥的療效，選100名患者隨機分成兩組，每組各50名，一組服藥，另一組不服藥．一段時間后，記錄了兩組患者的生理指標x和y的數據，并制成如圖，其中“*”表示服藥者，“+”表示未服藥者．（13分）
（1）從服藥的50名患者中隨機選出一人，求此人指標y的值小于60的概率；
（2）從圖中A，B，C，D四人中隨機選出兩人，記ξ為選出的兩人中指標x的值大于1.7的人數，求ξ的分布列和數學期望E（ξ）；
（3）試判斷這100名患者中服藥者指標y數據的方差與未服藥者指標y數據的方差的大小．（只需寫出結論）
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【題目】如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=1,∠BAC=90°,異面直線A1B與B1C1所成的角為60°.
(1)求該三棱柱的體積;
(2)設D是BB1的中點,求DC1與平面A1BC1所成角的正弦值.
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【題目】某大學為調查來自南方和北方的同齡大學生的身高差異，從2016級的年齡在18～19歲之間的大學生中隨機抽取了來自南方和北方的大學生各10名，測量他們的身高，量出的身高如下(單位：cm)：
南方：158，170，166，169，180，175，171，176，162，163.
北方：183，173，169，163，179，171，157，175，184，166.
(1)根據抽測結果，畫出莖葉圖，對來自南方和北方的大學生的身高作比較，寫出統計結論．
(2)設抽測的10名南方大學生的平均身高為
cm，將10名南方大學生的身高依次輸入如圖所示的程序框圖進行運算，問輸出的s大小為多少？并說明s的統計學意義。
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【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為4的正方形，PA⊥平面ABCD，E為PB中點，PB=4
．
（I）求證：PD∥面ACE；
（Ⅱ）求三棱錐E﹣ABC的體積。
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【題目】交通指數是交通擁堵指數的簡稱，是綜合反映道路網暢通或擁堵的概念，記交通指數為T．其
范圍為[0，10]，分別有五個級別：T∈[0，2）暢通;T∈[2，4)基本暢通; T∈[4，6）輕度擁堵; T∈[6，8)中度擁堵；T∈[8，10]嚴重擁堵，晚高峰時段(T≥2)，從某市交通指揮中心選取了市區20個交通路段，依據其交通指數數據繪制的部分直方圖如圖所示．
(1)請補全直方圖，并求出輕度擁堵、中度擁堵、嚴重擁堵路段各有多少個？
(2)用分層抽樣的方法從交通指數在[4，6），[6，8），[8，l0]的路段中共抽取6個路段，求依次抽取的三個級別路段的個數；
(3)從(2)中抽出的6個路段中任取2個，求至少一個路段為輕度擁堵的概率．
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