Question

19．設等比數列{a_n}的前n項和為S_n，且S₃=$\frac{7}{3}$，a₂=$\frac{2}{3}$，a₁＜a₂，則數列{na_n}的前n項和為T_n=$\frac{（n-1）•{2}^{n}+1}{3}$．

Answer 1

分析 設等比數列{a_n}公比為q，由題意可得首項和公比的方程組，解方程組由等比數列的通項公式，代入數列{na_n}，再由錯位相減法得答案．

解答 解：設等比數列{a_n}公比為q，
由a₂=$\frac{2}{3}$，S₃=$\frac{7}{3}$，得a₂=$\frac{2}{3}$，a₁+a₃=$\frac{5}{3}$，
由等比數列的通項公式可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}q=\frac{2}{3}}\\{{a}_{1}+{a}_{1}{q}^{2}=\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=\frac{1}{3}}\\{q=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=\frac{4}{3}}\\{q=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∵a₁＜a₂，∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=\frac{1}{3}}\\{q=2}\end{array}\right.$，
∴a_n=$\frac{1}{3}×{2}^{n-1}$，
則na_n=$\frac{n}{3}×{2}^{n-1}$．
∴T_n=$\frac{1}{3}$（1•2⁰+2•2¹+…+n•2^n-1），
$2{T}_{n}=\frac{1}{3}（1•{2}^{1}+2•{2}^{2}+…+n•{2}^{n}）$，
兩式作差得$-{T}_{n}=\frac{1}{3}（1+{2}^{1}+{2}^{2}+…+{2}^{n-1}-n•{2}^{n}）$=$\frac{1}{3}（\frac{1×（1-{2}^{n}）}{1-2}-n•{2}^{n}）$=$\frac{1}{3}（{2}^{n}-1-n•{2}^{n}）$．
∴${T}_{n}=\frac{（n-1）•{2}^{n}+1}{3}$．
故答案為：$\frac{（n-1）•{2}^{n}+1}{3}$．

點評 本題考查數列遞推式，考查了錯位相減法求數列的前n項和，屬中檔題．