Question

5．如圖，過橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上一點P向x軸作垂線，垂足為左焦點F，A，B分別為E的右頂點，上頂點，且AB∥OP，|AF|=$\sqrt{2}$+1．
（1）求橢圓E的方程；
（2）C，D為E上的兩點，若四邊形ACBD（A，C，B，D逆時針排列）的對角線CD所在直線的斜率為k，求四邊形ACBD面積S的最大值．

Answer 1

分析 （1）由AB∥OP，得$\frac{^{2}}{ac}$=$\frac{a}$，可得a與c，b與c的關系，結合|AF|=a+c=（$\sqrt{2}$+1）c=$\sqrt{2}$+1求得c，則a，b可求，橢圓E的方程可求；
（2）由題意設出CD所在直線方程，再設出C，D的坐標，聯立直線方程與橢圓方程，求出C，D的橫坐標，把四邊形ACBD面積S化為C，D的橫坐標的關系，進一步化為CD的斜率的函數，利用基本不等式求最值．

解答 解：（1）設焦距為2c，則P（-c，$\frac{b2}{a}$）．
由AB∥OP，得$\frac{^{2}}{ac}$=$\frac{a}$，則b=c，a=$\sqrt{2}$c，
∴|AF|=a+c=（$\sqrt{2}$+1）c，又|AF|=$\sqrt{2}$+1，
則c=1，b=1，a=$\sqrt{2}$，
∴橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）由題意可設CD：y=kx，設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），到AB的距離分別為d₁，d₂，
將y=kx代入$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，得x²=$\frac{2}{1+2{k}^{2}}$，則x₁=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$，x₂=-$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$．
由A（$\sqrt{2}$，0），B（0，1）得|AB|=$\sqrt{3}$，且AB：x+$\sqrt{2}$y-$\sqrt{2}$=0，
d₁=$\frac{{x}_{1}+\sqrt{2}{y}_{1}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，d₂=-$\frac{{x}_{2}+\sqrt{2}{y}_{2}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，
S=$\frac{1}{2}$|AB|（d₁+d₂）=$\frac{1}{2}$[（x₁-x₂）+$\sqrt{2}$（y₁-y₂）]
=$\frac{1}{2}$（1+$\sqrt{2}$k）（x₁-x₂）=$\frac{\sqrt{2}+2k}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$，
S²=2（1+$\frac{2\sqrt{2}k}{1+2{k}^{2}}$），因為1+2k²≥2$\sqrt{2}$k，當且僅當2k²=1時取等號，
∴當k=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，四邊形ACBD的面積S取得最大值2．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了直線與橢圓位置關系的應用，訓練了利用基本不等式求最值，是中檔題．