Question

【題目】已知數列滿足，函數是定義在上的奇函數，且滿足.

（Ⅰ）確定與的關系式，并求的解析式.

（Ⅱ）若數列的前項和為，數列的前項和為，且，是否存在實數，使得對于任意的，都有恒成立？若存在，求出的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）存在，的最大值為0.

【解析】

（Ⅰ）根據函數是定義在上的奇函數，且數列滿足及，可得，從而可得為等比數列，并得出的解析式；

（Ⅱ）由求出，遞推公式代入可得，由裂項求和可得，代入不等式分離參數，轉化為函數最值問題即可求解的最大值.

（Ⅰ）∵函數是定義在上的奇函數，且數列滿足，

∴，而.

∴.

又，∴，∴，為等比數列.

∴.

（Ⅱ）∵，∴.

∴，

∴

.

∴恒成立，即恒成立，

即對于任意的恒成立，

∵關于單調遞減且恒成立，

∴.

∴的最大值為0.