Question

9．已知函數f（x）=$\frac{a{x}^{2}+bx+c}{{e}^{x}}$（a＞0）的導函數y=f′（x）的兩個零點為-3和0．
（1）求f（x）的單調區間；
（2）若方程f（x）-m=0有三個不同的解，求m的取值范圍（用a表示）．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，根據導函數的零點求出函數的單調區間即可；
（2）根據函數的極值點求出b=c=5a，求出函數f（x）的單調區間，從而求出函數f（x）的極值，畫出函數f（x）的草圖，求出m的范圍即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{-{ax}^{2}+（2a-b）x+b-c}{{e}^{x}}$，
令g（x）=-ax²+（2a-b）x+b-c，
因為e^x＞0，所以y=f′（x）的零點就是g（x）=-ax²+（2a-b）x+b-c的零點，
且f′（x）與g（x）符號相同．
又因為a＞0，所以-3＜x＜0時，g（x）＞0，即f′（x）＞0，
當x＜-3或x＞0時，g（x）＜0，即f′（x）＜0，
所以f（x）的單調增區間是（-3，0），單調減區間是（-∞，-3），（0，+∞）．
（2）由（1）知，x=-3，0是f（x）的極值點，
所以有$\left\{\begin{array}{l}{f′（-3）=\frac{-15a+4b-c}{{e}^{-3}}=0}\\{f′（0）=\frac{b-c}{{e}^{0}}=0}\end{array}\right.$，解得b=c=5a，
所以$f（x）=\frac{{a（{x^2}+5x+5）}}{e^x}$．
因為f（x）的單調增區間是（-3，0），單調減區間是（-∞，-3），（0，+∞），
所以f（0）=5a為函數f（x）的極大值，$f（-3）=\frac{-a}{{{e^{-3}}}}=-a{e^3}$為極小值，
$\begin{array}{l}∵a＞0∴當x＜\frac{{-5-\sqrt{5}}}{2}或x＞\frac{{-5+\sqrt{5}}}{2}時f（x）＞0\\ 當\frac{{-5-\sqrt{5}}}{2}＜x＜\frac{{-5+\sqrt{5}}}{2}時f（x）＜0\end{array}$
根據以上分析做出f（x）的草圖為：

故方程f（x）=m有三個不同的解時0＜m＜5a．

點評 本題考查了函數的單調性、極值問題，考查導數的應用以及數形結合思想、轉化思想，是一道中檔題．