Question

已知橢圓

x2

25

+

y2

16

=1內有一點A（2，1），F為橢圓的左焦點，P是橢圓上的動點，求|PA|+|PF|的最大值與最小值．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：涉及|PF|時，一般可以想到橢圓的定義，所以設該橢圓的右焦點為F′，則：|PF|+|PF′|=10，所以|PA|+|PF|=10+|PA|-|PF′|．這時候可以作出圖形，根據圖形即可看出||PA|-|PF′||≤|AF′|=

2

，這樣即可求得|PA|-|PF′|的最大值，最小值，從而求出|PA|+|PF|的最大值，最小值．

解答： 解：如圖，設橢圓的右焦點為F′，則|PF|+|PF′|=10；
∴|PA|+|PF|=|PA|+10-|PF′|=10+|PA|-|PF′|；
由圖形知，當P在直線AF′上時，||PA|-|PF′||=|AF′|=

2

，當P不在直線AF′上時，根據三角形的兩邊之差小于第三邊有，||PA|-|PF′||＜|AF′|=

2

；
∴||PA|-|PF′||≤

2

；
∴-

2

≤|PA|-|PF′|≤

2

；
10-

2

≤|PA|+|PF|≤10+

2

；
∴|PA|+|PF|的最大值為10+

2

，最小值為10-

2

．

點評：考查橢圓的標準方程，橢圓的焦點，以及橢圓的定義，以及三角形兩邊之差小于第三邊，及數形結合求最值．