Question

17．已知函數$f（x）=\sqrt{x+3}+\frac{1}{x-2}$
（1）求函數f（x）的定義域；     
（2）求f（1）+f（-3）的值；
（3）求f（a+1）的值（其中a＞-4且a≠1）．

Answer 1

分析 （1）要使函數$f（x）=\sqrt{x+3}+\frac{1}{x-2}$有意義，則$\left\{{\begin{array}{l}{x+3≥0}\\{x-2≠0}\end{array}}\right.$，由此能求出函數f（x）的定義域．
（2）由函數$f（x）=\sqrt{x+3}+\frac{1}{x-2}$，能求出f（1）+f（-3）的值．
（3）由函數$f（x）=\sqrt{x+3}+\frac{1}{x-2}$，能求出f（a+1）的值．

解答 解：（1）要使函數$f（x）=\sqrt{x+3}+\frac{1}{x-2}$有意義
則$\left\{{\begin{array}{l}{x+3≥0}\\{x-2≠0}\end{array}}\right.$--------（2分）
即x≥-3且x≠2，--------（4分）
∴函數f（x）的定義域為{x|x≥-3且x≠2}（區間表示也可以）--------（5分）
（2）∵函數$f（x）=\sqrt{x+3}+\frac{1}{x-2}$，
∴$f（1）=\sqrt{1+3}+\frac{1}{1-2}=2-1=1$--------（6分）
$f（{-3}）=\sqrt{-3+3}+\frac{1}{-3-2}=0-\frac{1}{5}=-\frac{1}{5}$-------（7分）
∴$f（1）+f（{-3}）=\frac{4}{5}$--------（8分）
（3）∵函數$f（x）=\sqrt{x+3}+\frac{1}{x-2}$，a＞-4且a≠1，
∴f（a+1）=$\sqrt{a+1+3}+\frac{1}{a+1-2}$=$\sqrt{a+4}+\frac{1}{a-1}$．--------（10分）

點評 本題考查函數的定義域及函數值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意函數性質的合理運用．