Question

【題目】已知是滿足下述條件的所有函數(shù)組成的集合：對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意兩個自變量、,均有成立.

(1)已知定義域為的函數(shù),求實數(shù)、的取值范圍；

(2)設(shè)定義域為的函數(shù),且,求正實數(shù)的取值范圍；

(3)已知函數(shù)的定義域為,求證：.

Answer 1

【答案】(1)，；(2)；(3)證明見解析.

【解析】

(1)根據(jù)題意得到不等式,通過不等式可以求出實數(shù)、的取值范圍；

(2)求出時, 正實數(shù)的取值范圍,然后根據(jù)補(bǔ)集思想,求出正實數(shù)的取值范圍即可；

(3)設(shè),利用分子有理化,絕對值不等式的性質(zhì)，可以證明出

,這樣就可以證明出.

(1)因為定義域為的函數(shù),所以均有

成立,即

,顯然,因此，；

(2) 設(shè)定義域為的函數(shù),且,所以均有

成立,即

,

設(shè),即在上恒成立,

,因此有：

,因此當(dāng)時, 正實數(shù)的取值范圍為：；

(3) 設(shè)

,

所以有,顯然

也成立.