Question

已知復數z滿足|z|=

2

，z²的虛部為2．
（1）求復數z；
（2）設z，(

.

z

)2，z-z²在復平面上的對應點分別為A，B，C，求△ABC的面積；
（3）若復數z在復平面內所對應的點位于第一象限，且復數m滿足|m-z|=1求|m|的最值．

Answer 1

（1）設Z=x+yi（x，y∈R）
由題意得Z²=（x-y）²=x²-y²+2xyi
∴

x2+y2 = 2 (1) 2xy=1(2)

故（x-y）²=0，∴x=y將其代入（2）得2x²=2，
∴x=±1
故

x=1 y=1

或

x=-1 y=-1

故Z=1+i或Z=-1-i；
（2）當Z=1+i時，Z²=2i，Z-Z²=1-i
所以A（1，1），B（0，2），C（1，-1）
∴|AC|=2，S△ABC=

1

2

×1×2=1
當Z=-1-i時，(

.

z

)2=-2i，Z-Z²=-1-3i，A（-1，-1），B（0，-2），C（-1，3）
S△ABC=

1

2

×1×2=1．
（3）由題知，z=1+i
設m=c+di，則m-z=（c-1）+（d-1）i
|m-z|=1，
∴（c-1）²+（d-1）²=1
則復數m在復平面內所對應的點為M的軌跡為（1，1）為圓心，1為半徑的圓
所以|m|min=

2

-1，|m|max=

2

+1