【題目】已知在多面體
中，
，
，
，
，
且平面
平面
.
（1）設點
為線段
的中點，試證明
平面；
（2）若直線
與平面所成的角為
，求二面角
的余弦值.
【答案】（1）詳見解析（2）
【解析】
（1）由四邊形
為平行四邊形.∴
，再結合
平面
，即可證明
平面；
（2）由空間向量的應用，建立以
為原點，
所在直線為
軸，過點與
平行的直線為
軸，
所在直線為
軸的空間直角坐標系，再求出平面
的法向量
，平面
的法向量
，再利用向量夾角公式求解即可.
（1）證明：取
的中點，連接
，
，
∵在
中
，∴
.
∴由平面
平面，且交線為得平面.
∵，
分別為，
的中點，∴
，且
.
又
，
，∴
，且
.
∴四邊形為平行四邊形.∴，
∴平面.
（2）∵平面，
，
∴以為原點，所在直線為軸，過點與平行的直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標系.則
，
，
.
∵平面，∴直線
與平面所成的角為
.
∴
.∴
.
可取平面的法向量，
設平面的法向量
，
，
，
則
，取
，則
，
.∴，
∴
，
∴二面角
的余弦值為.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某企業為了解某產品的銷售情況，選擇某個電商平臺對該產品銷售情況作調查.統計了一年內的月銷售數量（單位：萬件），得到該電商平臺月銷售數量的莖葉圖.
（1）求該電商平臺在這一年內月銷售該產品數量的中位數和平均數；
（2）該企業與電商簽訂銷售合同時規定：如果電商平臺當月的銷售件數不低于40萬件，當月獎勵該電商平臺10萬元；當月低于40萬件沒有獎勵，用該樣本估計總體，從電商平臺一個年度內高于該年月銷售平均數的月份中任取兩個月，求這兩個月企業發給電商平臺的獎金為20萬元的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，已知曲線
的參數方程為
（
為參數），以坐標原點
為極點，以
軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
.
（1）設點
分別為曲線與曲線上的任意一點，求
的最大值；
（2）設直線
（
為參數）與曲線交于
兩點，且
，求直線
的普通方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】改革開放以來，人們的支付方式發生了巨大轉變．近年來，移動支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學生上個月A，B兩種移動支付方式的使用情況，從全校學生中隨機抽取了100人，發現樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學生的支付金額分布情況如下：
支付方式 | （0,1000] | （1000,2000] | 大于2000 |
僅使用A | 18人 | 9人 | 3人 |
僅使用B | 10人 | 14人 | 1人 |
（Ⅰ）從全校學生中隨機抽取1人，估計該學生上個月A，B兩種支付方式都使用的概率；
（Ⅱ）從樣本僅使用A和僅使用B的學生中各隨機抽取1人，以X表示這2人中上個月支付金額大于1000元的人數，求X的分布列和數學期望；
（Ⅲ）已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有變化．現從樣本僅使用A的學生中，隨機抽查3人，發現他們本月的支付金額都大于2000元．根據抽查結果，能否認為樣本僅使用A的學生中本月支付金額大于2000元的人數有變化？說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知三棱錐
（如圖一）的平面展開圖（如圖二）中，四邊形
為邊長等于
的正方形，
和
均為正三角形，在三棱錐中：
（I）證明：平面
平面
；
（Ⅱ）若點
在棱
上運動，當直線
與平面
所成的角最大時，求二面角
的余弦值.
圖一
圖二
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某學校隨機抽取部分新生調查其上學所需時間（單位：分鐘），并將所得數據繪制成頻率分布直方圖（如圖）．已知上學所需時間的范圍是
，樣本數據分組為
，
，
，
，
．
（1）求直方圖中x的值；
（2）如果上學所需時間在
的學生可申請在學校住宿，請估計該校800名新生中有多少名學生可以申請住宿．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】高鐵是一種快捷的交通工具，為我們的出行提供了極大的方便。某高鐵換乘站設有編號為①，②，③，④，⑤的五個安全出口，若同時開放其中的兩個安全出口，疏散
名乘客所需的時間如下：
安全出口編號 | ①② | ②③ | ③④ | ④⑤ | ①⑤ |
疏散乘客時間(s) | 120 | 220 | 160 | 140 | 200 |
則疏散乘客最快的一個安全出口的編號是（ ）
A. ①B. ②C. ④D. ⑤
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，“大衍數列”：0，2，4，8，12….來源于《乾坤譜》中對《易傳》“大衍之數五十”的推論，主要用于解釋中國傳統文化中的太極衍生過程中曾經經歷過的兩儀數量總和.下圖是求大衍數列前
項和的程序框圖.執行該程序框圖，輸入
，則輸出的
（ ）
A.100B.140C.190D.250
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