Question

【題目】設分別為橢圓的左右兩個焦點.

（1）若橢圓上的點到兩點的距離之和等于4，寫出橢圓的方程和焦點坐標；

（2）設點是（1)中所得橢圓上的動點，求線段的中點的軌跡方程；

（3）已知橢圓具有性質：如果是橢圓上關于原點對稱的兩個點，點是橢圓上任意一點，當直線的斜率都存在，并記為時，那么與之積是與點位置無關的定值，請給予證明.

Answer 1

【答案】(1)方程為,焦點.(2) ；(3)答案見解析.

【解析】試題分析：（1）先利用橢圓的定義及點在橢圓上求出橢圓的標準方程，再利用幾何元素間的關系求出焦點坐標；（2）利用相關點法求出動點軌跡即可；（3）設，則，再設，利用點在橢圓上（， ）和斜率公式進行求解.

試題解析：（1）橢圓的焦點在軸上，由橢圓上的點到兩點的距離之和是4,得，即.

又點在橢圓上，因此，于是.

所以橢圓的方程為,焦點.

（2）設橢圓上的動點為，線段的中點，∴.

因此，即為所求的軌跡方程.

（3）設，則，再設從而.

由在已知橢圓上，

故可解得， ，帶入中，

化簡有.即與之之積是與點位置無關的定值.