Question

13．已知函數$f（x）=\frac{1}{2}a{x^2}-（{2a+1}）x+2lnx（{x∈R}）$
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在x=1和x=3處的切線互相平行，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的單調區間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函數的導函數，得到f′（1），f′（3）的值，由f′（1）=f′（3）列式求得a值；
（Ⅱ）f′（x）=$ax-2a-1+\frac{2}{x}$=$\frac{a{x}^{2}-（2a+1）x+2}{x}$（x＞0）．然后對a分類討論求得函數的單調區間．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=$ax-2a-1+\frac{2}{x}$，
f′（1）=-a+1，f′（3）=a-$\frac{1}{3}$，
由f′（1）=f′（3），得-a+1=a-$\frac{1}{3}$，
解得a=$\frac{2}{3}$；
（Ⅱ）f′（x）=$ax-2a-1+\frac{2}{x}$=$\frac{a{x}^{2}-（2a+1）x+2}{x}$（x＞0）．
若a=0，f′（x）=$\frac{-x+2}{x}$．
當x∈（0，2）時，f′（x）＞0，當x∈（2，+∞）時，f′（x）＜0，
∴函數f（x）的增區間為（0，2），減區間為（2，+∞）．
令g（x）=ax²-（2a+1）x+2．
若0＜a$＜\frac{1}{2}$，方程ax²-（2a+1）x+2=0的兩根為x₁=2，${x}_{2}=\frac{1}{a}$，且2＜$\frac{1}{a}$．
當x∈（0，2）∪（$\frac{1}{a}$，+∞）時，g（x）＞0，即f′（x）＞0；當x∈（2，$\frac{1}{a}$）時，g（x）＜0，即f′（x）＜0．
∴f（x）的單調增區間為（0，2），（$\frac{1}{a}$，+∞）；單調減區間為（2，$\frac{1}{a}$）．
若a=$\frac{1}{2}$，g（x）≥0，即f′（x）≥0，函數f（x）在（0，+∞）上為增函數．
若a＞$\frac{1}{2}$，方程ax²-（2a+1）x+2=0的兩根為${x}_{1}=\frac{1}{a}$，x₂=2，且$\frac{1}{a}$＜2．
當x∈（0，$\frac{1}{a}$）∪（2，+∞）時，g（x）＞0，即f′（x）＞0；當x∈（$\frac{1}{a}$，2）時，g（x）＜0，即f′（x）＜0．
∴f（x）的單調增區間為（0，$\frac{1}{a}$），（2，+∞）；單調減區間為（$\frac{1}{a}$，2）．
若a＜0，程ax²-（2a+1）x+2=0的兩根為${x}_{1}=\frac{1}{a}$，x₂=2，且$\frac{1}{a}$＜0．
當x∈（0，2）時，g（x）＞0，即f′（x）＞0；當x∈（2，+∞）時，g（x）＜0，即f′（x）＜0．
∴f（x）的單調增區間為（0，2）；單調減區間為（2，+∞）．
綜上，當a≤0時，f（x）的單調增區間為（0，2）；單調減區間為（2，+∞）．
當0＜a＜$\frac{1}{2}$時，f（x）的單調增區間為（0，2），（$\frac{1}{a}$，+∞）；單調減區間為（2，$\frac{1}{a}$）．
當a=$\frac{1}{2}$時，函數f（x）在（0，+∞）上為增函數．
當a$＞\frac{1}{2}$時，f（x）的單調增區間為（0，$\frac{1}{a}$），（2，+∞）；單調減區間為（$\frac{1}{a}$，2）．

點評 本題考查利用導數研究過曲線上某點處的切線方程，考查利用導數研究函數的單調性，體現了分類討論的數學思想方法，是中檔題．