Question

19．設函數y=f（x）的定義域為D，值域為A，如果存在函數x=g（t），使得函數y=f[g（t）]的值域仍是A，那么稱x=g（t）是函數y=f（x）的一個等值域變換．
（1）判斷下列函數x=g（t）是不是函數y=f（x）的一個等值域變換？說明你的理由；
①$f（x）={log_2}x，x＞0，x=g（t）=t+\frac{1}{t}，t＞0$；
②f（x）=x²-x+1，x∈R，x=g（t）=2^t，t∈R．
（2）設f（x）=log₂x的定義域為x∈[2，8]，已知$x=g（t）=\frac{{m{t^2}-3t+n}}{{{t^2}+1}}$是y=f（x）的一個等值域變換，且函數y=f[g（t）]的定義域為R，求實數m、n的值．

Answer 1

分析 （1）在①中，函數y=f（x）的值域為R，函數y=f[g（t）]的值域是（0，+∞）；在②中，f（x）的值域為$[{\frac{3}{4}，+∞}）$，y=f[g（t）]的值域仍為$[{\frac{3}{4}，+∞}）$．
（2）由已知得$x=g（t）=\frac{{m{t^2}-3t+n}}{{{t^2}+1}}，t∈R$的值域為[2，8]，$2≤\frac{{m{t^2}-3t+n}}{{{t^2}+1}}≤8?2（{{t^2}+1}）≤m{t^2}-3t+n≤8（{{t^2}+1}）$，由此能求出實數m、n的值．

解答 解：（1）在①中，∵$f（x）={log_2}x，x＞0，x=g（t）=t+\frac{1}{t}，t＞0$，
∴函數y=f（x）的值域為R，函數y=f[g（t）]的值域是（0，+∞），
故①不是等值域變換，
在②中，$f（x）={x^2}-x+1={（{x-\frac{1}{2}}）^2}+\frac{3}{4}≥\frac{3}{4}$，即f（x）的值域為$[{\frac{3}{4}，+∞}）$，
當t∈R時，$f[{g（t）}]={（{{2^t}-\frac{1}{2}}）^2}+\frac{3}{4}≥\frac{3}{4}$，即y=f[g（t）]的值域仍為$[{\frac{3}{4}，+∞}）$，
∴x=g（t）是f（x）的一個等值域變換，故②是等值域變換．
（2）f（x）=log₂x定義域為[2，8]，因為x=g（t）是f（x）的一個等值域變換，
且函數y=f[g（t）]的定義域為R，
∴$x=g（t）=\frac{{m{t^2}-3t+n}}{{{t^2}+1}}，t∈R$的值域為[2，8]，
$2≤\frac{{m{t^2}-3t+n}}{{{t^2}+1}}≤8?2（{{t^2}+1}）≤m{t^2}-3t+n≤8（{{t^2}+1}）$，
∴恒有$\left\{{\begin{array}{l}{2＜m＜8}\\{{△_1}=9-4（{m-2}）（{n-2}）=0}\\{{△_2}=9-4（{m-8}）（{n-8}）=0}\end{array}}\right.$，
解得$\left\{{\begin{array}{l}{m=5-\frac{{3\sqrt{3}}}{2}}\\{n=5+\frac{{3\sqrt{3}}}{2}}\end{array}}\right.$．

點評 本題考查等值域變換的判斷，考查實數值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意函數性質的合理運用．