Question

設函數f（x）=a（2x-1）+（2a²+1）ln（-x），a∈R．
（1）討論f（x）在定義域上的單調性；
（2）當a≥0時，判斷f（x）在[-1，-

1

2

]上的零點個數．

Answer 1

考點：函數零點的判定定理,函數的單調性及單調區間

專題：計算題,函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（1）先求函數的定義域（-∞，0），再求導f′（x）=2a+

2a2+1

x

，從而討論函數的單調性；
（2）討論a的取值，從而利用函數的單調性及函數零點的判定定理求解零點的個數．

解答： 解：（1）函數f（x）=a（2x-1）+（2a²+1）ln（-x）的定義域為（-∞，0），
f′（x）=2a+

2a2+1

x

，
①當a≤0時，f′（x）＜0，則f（x）在（-∞，0）上是減函數；
②當a＞0時，f′（x）=2a+

2a2+1

x

=

2a(x+ 2a2+1 2a )

x

，
則當x∈（-∞，-

2a2+1

2a

）時，f′（x）＞0，
當x∈（-

2a2+1

2a

，0）時，f′（x）＜0，
則f（x）在（-∞，-

2a2+1

2a

）上單調遞增，在（-

2a2+1

2a

，0）上單調遞減；
（2）①當a=0時，f（x）=ln（-x），
令ln（-x）=0解得，x=-1，
故f（x）在[-1，-

1

2

]上有一個零點；
②當a＞0時，
∵

2a2+1

2a

-1=

2(a- 1 2 )2+ 1 2

2a

＞0，
[-1，-

1

2

]⊆（-

2a2+1

2a

，0），
即f（x）在[-1，-

1

2

]上單調遞減，
又∵f（-1）=-3a＜0，
f（-

1

2

）=-2a-（2a²+1）ln2＜0，
故f（x）在[-1，-

1

2

]上沒有零點．

點評：本題考查了函數的零點的判斷及導數的應用，屬于難題．